Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{3 x}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{3 x} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 4

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sqrt{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$