Cálculo Exemplos

$\sqrt{9 - x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\sqrt{9 - x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Etapa 4

Deixe $x = 3 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 3 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.2

Fatore $9$ de $9$ .

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.3

Fatore $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.4

Fatore $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.6

Reescreva $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 5.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 5.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Etapa 5.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Etapa 5.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 5.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Etapa 6

Como $9$ é constante com relação a $t$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Etapa 7

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 12

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 12.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 12.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 13

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 15

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 16

Simplifique.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 17.3

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Etapa 18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Etapa 18.3

Combine $\frac{9}{2}$ e $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Etapa 18.4

Multiplique $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

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Etapa 18.4.1

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 18.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

Etapa 19

Reordene os termos.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

Etapa 20

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$