Cálculo Exemplos

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

Etapa 3

Deixe $u_{2} = \cot (π x)$ . Depois, $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ , então, $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{2} = \cot (π x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\cot (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 3.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 3.1.2.2

A derivada de $\cot (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 3.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $π x$ .

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie.

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Etapa 3.1.3.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.3.3.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$- \csc^{2} (π x) π$

Etapa 3.1.3.3.2

Reordene os fatores de $- \csc^{2} (π x) π$ .

$- π \csc^{2} (π x)$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Etapa 4

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 9

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 12.2.1

Fatore $π$ de $- π \cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Etapa 12.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Etapa 12.2.3

Reescreva a expressão.

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Etapa 12.3

Combine $\frac{1}{π}$ e $e^{\cot (π x)}$ .

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ .

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$