Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x \sqrt{7 x^{2} + 2} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 7 x^{2} + 2$ . Depois, $d u = 14 x d x$ , então, $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 7 x^{2} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 2]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$14 x + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $14 x$ e $0$ .

$14 x$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{14} d u$

Etapa 4

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{14} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{14}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{14}$ para fora da integral.

$\frac{1}{14} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 6

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{14} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{1}{14}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{14 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.2.2

Multiplique $14$ por $3$ .

$\frac{2}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $42$ .

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Etapa 8.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.3.2.1

Fatore $2$ de $42$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$