Cálculo Exemplos

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $G (t)$ encontrando a integral indefinida da derivada $g (t)$ .

$G (t) = \int g (t) d t$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$G (t) = \int \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Etapa 4

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (1 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Etapa 5

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Etapa 5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6

Expanda $(1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (1 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6.3

Multiplique $t^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6.8

Subtraia $1$ de $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6.10

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6.11

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Etapa 6.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Etapa 6.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.13.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Etapa 6.13.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{3}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 11

Simplifique.

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ .

$G (t) =$ $2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$