Cálculo Exemplos

$3 x^{4} + 4 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $3 x^{4} + 4 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 4 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} + 12 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$36 x^{2} + 12 (2 x)$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $36 x^{2} + 24 x$ .

$36 x^{2} + 24 x$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $36 x^{2} + 24 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$36 x^{2} + 24 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore $12 x$ de $36 x^{2} + 24 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $12 x$ de $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) + 24 x = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $12 x$ de $24 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (2) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $12 x$ de $12 x (3 x) + 12 x (2)$ .

$12 x (3 x + 2) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 x (3 x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $- \frac{2}{3}$ em $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.1

Fatore $3$ de $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3})$

Etapa 4.3.2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}))$

Etapa 4.3.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{2^{3}}{3^{3}})$

Etapa 4.3.2.1.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{3^{3}})$

Etapa 4.3.2.1.10

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{27})$

Etapa 4.3.2.1.11

Multiplique $4 (- \frac{8}{27})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.11.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27})$

Etapa 4.3.2.1.11.2

Combine $- 4$ e $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27}$

Etapa 4.3.2.1.11.3

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27}$

Etapa 4.3.2.1.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27}$

Etapa 4.3.2.2

Combine frações.

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Etapa 4.3.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16 - 32}{27}$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.1

Subtraia $32$ de $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 16}{27}$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{16}{27}$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $- \frac{16}{27}$ .

$- \frac{16}{27}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{2}{3}$ em $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ é $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.7\overline{6}$ na expressão.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 {(- 0.7\overline{6})}^{2} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.7\overline{6}$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $36$ por $0.58\overline{7}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 + 24 (- 0.7\overline{6})$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $24$ por $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

Etapa 6.2.2

Subtraia $18.4$ de $21.16$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 2.76$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2.76$ .

$2.76$

Etapa 6.3

Em $- 0.7\overline{6}$ , a segunda derivada é $2.76$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{2}{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{2}{3}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.\overline{3}$ na expressão.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3})$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 0.\overline{3}$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3})$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $36$ por $0.\overline{1}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3})$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $24$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8$

Etapa 7.2.2

Subtraia $8$ de $4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 7.3

Em $- 0.\overline{3}$ , a segunda derivada é $- 4$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \frac{2}{3}, 0)$ .

Decréscimo em $(- \frac{2}{3}, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 36 {(0.1)}^{2} + 24 (0.1)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.1) = 36 \cdot 0.01 + 24 (0.1)$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $36$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 24 (0.1)$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $24$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 2.4$

Etapa 8.2.2

Some $0.36$ e $2.4$ .

$f'' (0.1) = 2.76$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $2.76$ .

$2.76$

Etapa 8.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $2.76$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$

Etapa 10