Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 8}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 8}$ como ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 8$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 8$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

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Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 1.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 1.1.10

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 1.1.11

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 1.1.11.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 1.1.11.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.11.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.11.5

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\sqrt{x^{2} + 8}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} + 8}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{0 + 8}$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $8$ .

$\sqrt{8}$

Etapa 4.1.2.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Etapa 4.1.2.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 \sqrt{2}$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 2 \sqrt{2})$

Etapa 5