Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} + 1}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) (x + h) + 1}$

Etapa 2.1.2.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x (x + h) + h (x + h) + 1}$

Etapa 2.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h (x + h) + 1}$

Etapa 2.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 1}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 1}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 1}$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

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Etapa 2.1.2.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 1}$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

Etapa 2.1.2.4

A resposta final é $\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$ .

$\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1} - (\sqrt{x^{2} + 1})}{h}$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 1}}{h}$

Etapa 5