Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ .

$\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} - (\frac{1 - x}{3 + x})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{1 - x}{3 + x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ .

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(3 + x + h) (3 + x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ por $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{1 - x}{3 + x}$ por $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(3 + x + h) (3 + x)$ .

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x) (3 + x + h)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.1

Expanda $(1 - x - h) (3 + x)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{\frac{1 \cdot 3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.2.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 + x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.2.4.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - (x \cdot x) - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 \cdot 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 4.1.5.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + 1 x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Expanda $(- 1 + x) (3 + x + h)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 1 \cdot 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.3

Reescreva $- 1 h$ como $- h$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.4

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 \cdot x + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.5

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 x + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Some $- x$ e $3 x$ .

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{- 2 x - x^{2} - 3 h - h x + 0 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11

Some $- 2 x$ e $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} - 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.13

Subtraia $h$ de $- 3 h$ .

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.14

Some $- h x$ e $0$ .

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.15

Some $- h x$ e $x h$ .

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Etapa 4.1.5.15.1

Mova $h$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h - 1 x h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.15.2

Some $- 1 x h$ e $x h$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h + 0}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.16

Some $- 2 x + 2 x - 4 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.17

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{\frac{0 - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.18

Subtraia $4 h$ de $0$ .

$\frac{\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}$ para o numerador.

$\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Fatore $h$ de $- 4 h$ .

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

Etapa 5