Cálculo Exemplos

$f (x) = x \ln (x) - x$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = (x + h) \ln (x + h) - (x + h)$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$ .

$x \ln (x + h) + h \ln (x + h) - x - h$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$x \ln (h + x) + h \ln (x + h) - x - h$

Etapa 2.2.2

Reordene $x$ e $h$ .

$x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x - h$

Etapa 2.2.3

Mova $h \ln (h + x)$ .

$x \ln (h + x) - x - h + h \ln (h + x)$

Etapa 2.2.4

Mova $x \ln (h + x)$ .

$- x - h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

Etapa 2.2.5

Reordene $- x$ e $- h$ .

$- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = - h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

$f (x) = (x) \ln (x) - x$

$f (x + h) = - h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x)$

$f (x) = (x) \ln (x) - x$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - ((x) \ln (x) - x)}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - ((x) \ln (x)) - - x}{h}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + 1 x}{h}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- h - x + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + x}{h}$

Etapa 4.1.3

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x) + 0}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x)$ e $0$ .

$\frac{- h + x \ln (h + x) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Etapa 4.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.2.1

Fatore $- 1$ de $x \ln (h + x)$ .

$\frac{- h - (- x \ln (h + x)) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Etapa 4.2.2

Fatore $- 1$ de $- h - (- x \ln (h + x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x)) + h \ln (h + x) - x \ln (x)}{h}$

Etapa 4.2.3

Fatore $- 1$ de $h \ln (h + x)$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x)) - (- h \ln (h + x)) - x \ln (x)}{h}$

Etapa 4.2.4

Fatore $- 1$ de $- (h - x \ln (h + x)) - (- h \ln (h + x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - x \ln (x)}{h}$

Etapa 4.2.5

Fatore $- 1$ de $- x \ln (x)$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - (x \ln (x))}{h}$

Etapa 4.2.6

Fatore $- 1$ de $- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x)) - (x \ln (x))$ .

$\frac{- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))}{h}$

Etapa 4.2.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.7.1

Reescreva $- (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))$ como $- 1 (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))$ .

$\frac{- 1 (h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x))}{h}$

Etapa 4.2.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{h - x \ln (h + x) - h \ln (h + x) + x \ln (x)}{h}$

Etapa 5