Cálculo Exemplos

$\cos (x y) = x - y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 1 - y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 1 - y'$

Etapa 5.2

Some $y'$ aos dois lados da equação.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) + y' = 1$

Etapa 5.3

Some $y \sin (x y)$ aos dois lados da equação.

$- x y' \sin (x y) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $- x y' \sin (x y) + y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Etapa 5.4.2

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1 = 1 + y \sin (x y)$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1$ .

$y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y) + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y) + 1$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $- x \sin (x y) + 1$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

Etapa 5.5.3.2

Fatore $- 1$ de $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) + 1}$

Etapa 5.5.3.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)}$

Etapa 5.5.3.4

Fatore $- 1$ de $- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) - 1)}$

Etapa 5.5.3.5

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.5.3.5.1

Reescreva $- (x \sin (x y) - 1)$ como $- 1 (x \sin (x y) - 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) - 1)}$

Etapa 5.5.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$