Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6}{a + h} - \frac{6}{a}}{h}$

Etapa 1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para escrever $\frac{6}{a + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a}{a}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6}{a + h} \cdot \frac{a}{a} - \frac{6}{a}}{h}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{6}{a}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{a + h}{a + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6}{a + h} \cdot \frac{a}{a} - \frac{6}{a} \cdot \frac{a + h}{a + h}}{h}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(a + h) a$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{6}{a + h}$ por $\frac{a}{a}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 a}{(a + h) a} - \frac{6}{a} \cdot \frac{a + h}{a + h}}{h}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{6}{a}$ por $\frac{a + h}{a + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 a}{(a + h) a} - \frac{6 (a + h)}{a (a + h)}}{h}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(a + h) a$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 a}{a (a + h)} - \frac{6 (a + h)}{a (a + h)}}{h}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 a - 6 (a + h)}{a (a + h)}}{h}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique o argumento do limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{6 a - 6 (a + h)}{a (a + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{6 a - 6 (a + h)}{a (a + h)}$ por $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{6 a - 6 (a + h)}{a (a + h) h}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{a}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{6 a - 6 (a + h)}{(a + h) h}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{a} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 6 a - 6 (a + h)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 6 a - lim_{h \to 0} 6 (a + h)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Etapa 3.1.2.1.2

Avalie o limite de $6 a$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - lim_{h \to 0} 6 (a + h)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Etapa 3.1.2.1.3

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - 6 lim_{h \to 0} a + h}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Etapa 3.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - 6 (lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Etapa 3.1.2.1.5

Avalie o limite de $a$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - 6 (a + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - 6 (a + 0)}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Etapa 3.1.2.3

Combine os termos opostos em $6 a - 6 (a + 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Some $a$ e $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{6 a - 6 a}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $6 a$ de $6 a$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (a + h) h}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} a + h \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.3

Avalie o limite de $a$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{(a + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.4.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{(a + 0) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 3.1.3.4.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{(a + 0) \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.5.1

Some $a$ e $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{a \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.5.2

Multiplique $a$ por $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{a} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{6 a - 6 (a + h)}{(a + h) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [6 a - 6 (a + h)]}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [6 a - 6 (a + h)]}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 a - 6 (a + h)$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [6 a] + \frac{d}{d h} [- 6 (a + h)]$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [6 a] + \frac{d}{d h} [- 6 (a + h)]}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Etapa 3.3.3

Como $6 a$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $6 a$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 6 (a + h)]}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d h} [- 6 (a + h)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 6 (a + h)$ em relação a $h$ é $- 6 \frac{d}{d h} [a + h]$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 \frac{d}{d h} [a + h]}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Etapa 3.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [a] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 (\frac{d}{d h} [a] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Etapa 3.3.4.3

Como $a$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $a$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Etapa 3.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Etapa 3.3.4.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Etapa 3.3.4.6

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{0 - 6}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Etapa 3.3.5

Subtraia $6$ de $0$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{\frac{d}{d h} [(a + h) h]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ é $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , em que $f (h) = a + h$ e $g (h) = h$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{(a + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [a + h]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{(a + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [a + h]}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $a + h$ por $1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h \frac{d}{d h} [a + h]}$

Etapa 3.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [a] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h (\frac{d}{d h} [a] + \frac{d}{d h} [h])}$

Etapa 3.3.10

Como $a$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $a$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Etapa 3.3.11

Some $0$ e $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h \cdot 1}$

Etapa 3.3.13

Multiplique $h$ por $1$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + h + h}$

Etapa 3.3.14

Some $h$ e $h$ .

$\frac{1}{a} lim_{h \to 0} \frac{- 6}{a + 2 h}$

Etapa 4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova o termo $- 6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{a} \cdot - 6 lim_{h \to 0} \frac{1}{a + 2 h}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} a + 2 h}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{1}{lim_{h \to 0} a + 2 h}$

Etapa 4.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{1}{lim_{h \to 0} a + lim_{h \to 0} 2 h}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $a$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{1}{a + lim_{h \to 0} 2 h}$

Etapa 4.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{1}{a + 2 lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{a} \cdot - 6 \frac{1}{a + 2 \cdot 0}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{a}$ e $- 6$ .

$\frac{- 6}{a} \cdot \frac{1}{a + 2 \cdot 0}$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{a} \cdot \frac{1}{a + 2 \cdot 0}$

Etapa 6.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{6}{a} \cdot \frac{1}{a + 0}$

Etapa 6.3.2

Some $a$ e $0$ .

$- \frac{6}{a} \cdot \frac{1}{a}$

Etapa 6.4

Multiplique $- \frac{6}{a} \cdot \frac{1}{a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{1}{a}$ por $\frac{6}{a}$ .

$- \frac{6}{a \cdot a}$

Etapa 6.4.2

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$- \frac{6}{a^{1} a}$

Etapa 6.4.3

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$- \frac{6}{a^{1} a^{1}}$

Etapa 6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{6}{a^{1 + 1}}$

Etapa 6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{6}{a^{2}}$