Cálculo Exemplos

$lim_{a \to - 2} \frac{2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16}{a + 2}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{a \to - 2} 2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $a$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{a \to - 2} 2 a^{3} - lim_{a \to - 2} 2 a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $a$ .

$\frac{2 lim_{a \to - 2} a^{3} - lim_{a \to - 2} 2 a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $3$ de $a^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{3} - lim_{a \to - 2} 2 a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $a$ .

$\frac{2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{3} - 2 lim_{a \to - 2} a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o expoente $2$ de $a^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{3} - 2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $a$ .

$\frac{2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{3} - 2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a + lim_{a \to - 2} 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $a$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{3} - 2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.8

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $a$ .

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Etapa 1.1.2.8.1

Avalie o limite de $a$ substituindo $- 2$ por $a$ .

$\frac{2 {(- 2)}^{3} - 2 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.8.2

Avalie o limite de $a$ substituindo $- 2$ por $a$ .

$\frac{2 {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.8.3

Avalie o limite de $a$ substituindo $- 2$ por $a$ .

$\frac{2 {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.9.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$\frac{2 \cdot - 8 - 2 {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$\frac{- 16 - 2 {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.3

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.9.1.3.1

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.9.1.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $1$ .

$\frac{- 16 + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 16 + {(- 2)}^{1 + 2} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.3.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 16 + {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$\frac{- 16 - 8 - 4 \cdot - 2 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.9.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{- 16 - 8 + 8 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.9.2

Subtraia $8$ de $- 16$ .

$\frac{- 24 + 8 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.9.3

Some $- 24$ e $8$ .

$\frac{- 16 + 16}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.2.9.4

Some $- 16$ e $16$ .

$\frac{0}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $a$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{a \to - 2} a + lim_{a \to - 2} 2}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $a$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{a \to - 2} a + 2}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $a$ substituindo $- 2$ por $a$ .

$\frac{0}{- 2 + 2}$

Etapa 1.1.3.3

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{a \to - 2} \frac{2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16}{a + 2} = lim_{a \to - 2} \frac{\frac{d}{d a} [2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{a \to - 2} \frac{\frac{d}{d a} [2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 a^{3} - 2 a^{2} - 4 a + 16$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [2 a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{\frac{d}{d a} [2 a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d a} [2 a^{3}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $2 a^{3}$ em relação a $a$ é $2 \frac{d}{d a} [a^{3}]$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{2 \frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{2 (3 a^{2}) + \frac{d}{d a} [- 2 a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} + \frac{d}{d a} [- 2 a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d a} [- 2 a^{2}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $- 2 a^{2}$ em relação a $a$ é $- 2 \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 2 \frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 2 (2 a) + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d a} [- 4 a]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $- 4$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $- 4 a$ em relação a $a$ é $- 4 \frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4 \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4 + \frac{d}{d a} [16]}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.6

Como $16$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $16$ em relação a $a$ é $0$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4 + 0}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.7

Some $6 a^{2} - 4 a - 4$ e $0$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4}{\frac{d}{d a} [a + 2]}$

Etapa 1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a + 2$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [2]$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4}{\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [2]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4}{1 + \frac{d}{d a} [2]}$

Etapa 1.3.10

Como $2$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $2$ em relação a $a$ é $0$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4}{1 + 0}$

Etapa 1.3.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{a \to - 2} \frac{6 a^{2} - 4 a - 4}{1}$

Etapa 1.4

Divida $6 a^{2} - 4 a - 4$ por $1$ .

$lim_{a \to - 2} 6 a^{2} - 4 a - 4$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $a$ se aproxima de $- 2$ .

$lim_{a \to - 2} 6 a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a - lim_{a \to - 2} 4$

Etapa 2.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $a$ .

$6 lim_{a \to - 2} a^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a - lim_{a \to - 2} 4$

Etapa 2.3

Mova o expoente $2$ de $a^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$6 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - lim_{a \to - 2} 4 a - lim_{a \to - 2} 4$

Etapa 2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $a$ .

$6 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a - lim_{a \to - 2} 4$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $a$ se aproxima de $- 2$ .

$6 {(lim_{a \to - 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a - 1 \cdot 4$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $a$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $a$ substituindo $- 2$ por $a$ .

$6 {(- 2)}^{2} - 4 lim_{a \to - 2} a - 1 \cdot 4$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $a$ substituindo $- 2$ por $a$ .

$6 {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2 - 1 \cdot 4$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$6 \cdot 4 - 4 \cdot - 2 - 1 \cdot 4$

Etapa 4.1.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$24 - 4 \cdot - 2 - 1 \cdot 4$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$24 + 8 - 1 \cdot 4$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$24 + 8 - 4$

Etapa 4.2

Some $24$ e $8$ .

$32 - 4$

Etapa 4.3

Subtraia $4$ de $32$ .

$28$