Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de ${(a - h)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $a$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $5 a^{2}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.7.2

Combine os termos opostos em $5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.7.2.1

Some $a$ e $0$ .

$\frac{5 a^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.7.2.2

Subtraia $5 a^{2}$ de $5 a^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(a - h)}^{2}$ como $(a - h) (a - h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 ((a - h) (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Expanda $(a - h) (a - h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a (a - h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h \cdot h) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.1.4

Multiplique $h$ por $h$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.4.1.4.1

Mova $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.1.4.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.1.6

Multiplique $h^{2}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2

Subtraia $h a$ de $- a h$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Mova $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - 1 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2.2

Subtraia $a h$ de $- a h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Avalie $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})]$ .

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Etapa 1.3.6.1

Como $5$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})$ em relação a $h$ é $5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a^{2} - 2 a h + h^{2}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6.3

Como $a^{2}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $a^{2}$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6.4

Como $- 2 a$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 2 a h$ em relação a $h$ é $- 2 a \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6.8

Subtraia $2 a$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7

Como $- 5 a^{2}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 5 a^{2}$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.8

Simplifique.

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Etapa 1.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a) + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.8.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.8.2.1

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.8.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.8.2.3

Some $- 10 a + 10 h$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{1}$

Etapa 1.4

Divida $- 10 a + 10 h$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - 10 a + 10 h$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- lim_{h \to 0} 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

Etapa 2.2

Avalie o limite de $10 a$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

Etapa 2.3

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- 10 a + 10 lim_{h \to 0} h$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- 10 a + 10 \cdot 0$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $10$ por $0$ .

$- 10 a + 0$

Etapa 4.2

Some $- 10 a$ e $0$ .

$- 10 a$