Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(8 + h)}^{- 1} - 8^{- 1}}{h}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 1.1.1

Converta os expoentes negativos em frações.

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Etapa 1.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{8 + h} - 8^{- 1}}{h}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{8 + h} - \frac{1}{8}}{h}$

Etapa 1.1.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.2.1

Para escrever $\frac{1}{8 + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{8 + h} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}}{h}$

Etapa 1.1.2.2

Para escrever $- \frac{1}{8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8 + h}{8 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{8 + h} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} \cdot \frac{8 + h}{8 + h}}{h}$

Etapa 1.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(8 + h) \cdot 8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{8 + h}$ por $\frac{8}{8}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{8}{(8 + h) \cdot 8} - \frac{1}{8} \cdot \frac{8 + h}{8 + h}}{h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{8 + h}{8 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{8}{(8 + h) \cdot 8} - \frac{8 + h}{8 (8 + h)}}{h}$

Etapa 1.1.2.3.3

Reordene os fatores de $(8 + h) \cdot 8$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{8}{8 (8 + h)} - \frac{8 + h}{8 (8 + h)}}{h}$

Etapa 1.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{8 - (8 + h)}{8 (8 + h)}}{h}$

Etapa 1.2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 1.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{8 - (8 + h)}{8 (8 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $\frac{8 - (8 + h)}{8 (8 + h)}$ por $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 - (8 + h)}{8 (8 + h) h}$

Etapa 1.3

Mova o termo $\frac{1}{8}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{8 - (8 + h)}{(8 + h) h}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 8 - (8 + h)}{lim_{h \to 0} (8 + h) h}$

Etapa 2.1.2

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite de $8 - (8 + h)$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{8 - (8 + 0)}{lim_{h \to 0} (8 + h) h}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.2.1

Some $8$ e $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{h \to 0} (8 + h) h}$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{8 - 8}{lim_{h \to 0} (8 + h) h}$

Etapa 2.1.2.3

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (8 + h) h}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} 8 + h \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.3.3

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{(8 + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 2.1.3.4.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{(8 + 0) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Etapa 2.1.3.4.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{(8 + 0) \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.5.1

Some $8$ e $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{8 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.5.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{8} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{8 - (8 + h)}{(8 + h) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8 - (8 + h)]}{\frac{d}{d h} [(8 + h) h]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8 - (8 + h)]}{\frac{d}{d h} [(8 + h) h]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - (8 + h)$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- (8 + h)]$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- (8 + h)]}{\frac{d}{d h} [(8 + h) h]}$

Etapa 2.3.3

Como $8$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $8$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- (8 + h)]}{\frac{d}{d h} [(8 + h) h]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d h} [- (8 + h)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- (8 + h)$ em relação a $h$ é $- \frac{d}{d h} [8 + h]$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [8 + h]}{\frac{d}{d h} [(8 + h) h]}$

Etapa 2.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(8 + h) h]}$

Etapa 2.3.4.3

Como $8$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $8$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(8 + h) h]}$

Etapa 2.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(8 + h) h]}$

Etapa 2.3.4.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(8 + h) h]}$

Etapa 2.3.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d h} [(8 + h) h]}$

Etapa 2.3.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d h} [(8 + h) h]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ é $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ , em que $f (h) = 8 + h$ e $g (h) = h$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(8 + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [8 + h]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(8 + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [8 + h]}$

Etapa 2.3.8

Multiplique $8 + h$ por $1$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{8 + h + h \frac{d}{d h} [8 + h]}$

Etapa 2.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{8 + h + h (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h])}$

Etapa 2.3.10

Como $8$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $8$ em relação a $h$ é $0$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{8 + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Etapa 2.3.11

Some $0$ e $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{8 + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 2.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{8 + h + h \cdot 1}$

Etapa 2.3.13

Multiplique $h$ por $1$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{8 + h + h}$

Etapa 2.3.14

Some $h$ e $h$ .

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{8 + 2 h}$

Etapa 2.3.15

Reordene os termos.

$\frac{1}{8} lim_{h \to 0} \frac{- 1}{2 h + 8}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{h \to 0} - 1}{lim_{h \to 0} 2 h + 8}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $- 1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{- 1}{lim_{h \to 0} 2 h + 8}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{- 1}{lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 8}$

Etapa 3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{h \to 0} h + 8}$

Etapa 4

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 8}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{- 1}{0 + 8}$

Etapa 5.1.2

Some $0$ e $8$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{- 1}{8}$

Etapa 5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{8} (- \frac{1}{8})$

Etapa 5.3

Multiplique $\frac{1}{8} (- \frac{1}{8})$ .

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Etapa 5.3.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8 \cdot 8}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $8$ por $8$ .

$- \frac{1}{64}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{64}$

Forma decimal:

$- 0.015625$