Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 3

Mova o expoente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

${(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

${(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 10

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 11

Avalie o limite de $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 12.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.1

Combine os termos opostos em ${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ .

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Etapa 13.1.1

Some $x$ e $0$ .

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 13.1.2

Some $x$ e $0$ .

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Etapa 13.2

Subtraia $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ de $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ .

$0$