Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (x + h) - \tan (x)}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (x + h) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \tan (x + h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\tan (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\tan (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $\tan (x)$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\tan (x + lim_{h \to 0} h) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{\tan (x + 0) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Combine os termos opostos em $\tan (x + 0) - \tan (x)$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{\tan (x) - \tan (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $\tan (x)$ de $\tan (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\tan (x + h) - \tan (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h) - \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h) - \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (x + h) - \tan (x)$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [\tan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\tan (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [\tan (x + h)]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = \tan (h)$ e $g (h) = x + h$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.3

Como $x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.5

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $\sec^{2} (x + h)$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) + \frac{d}{d h} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Como $- \tan (x)$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.1

Some $\sec^{2} (x + h)$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.2

Reescreva $\sec (x + h)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (x + h)})}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x + h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (x + h)} \cdot 1$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{1}{\cos^{2} (x + h)}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos^{2} (x + h)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Etapa 2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x + h)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{{(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

Etapa 2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x + 0)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + 0)}$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x + 0)}$ como ${(\frac{1}{\cos (x + 0)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x + 0)})}^{2}$

Etapa 4.3

Converta de $\frac{1}{\cos (x + 0)}$ em $\sec (x + 0)$ .

$\sec^{2} (x + 0)$

Etapa 4.4

Some $x$ e $0$ .

$\sec^{2} (x)$