Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{3} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(1 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $3$ de ${(1 + h)}^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(1 + lim_{h \to 0} h)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(1 + h)}^{3} - 1$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [{(1 + h)}^{3}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{3}$ e $g (h) = 1 + h$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [1 + h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $1$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.5

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 1$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.1

Some $3 {(1 + h)}^{2}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(1 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.2

Reescreva ${(1 + h)}^{2}$ como $(1 + h) (1 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 ((1 + h) (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.3

Expanda $(1 + h) (1 + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 (1 + h) + h (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.5.4.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.4.1.2

Multiplique $h$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.4.1.3

Multiplique $h$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h + h \cdot h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.4.1.4

Multiplique $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + h + h + h^{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.4.2

Some $h$ e $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (1 + 2 h + h^{2})}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{3 \cdot 1 + 3 (2 h) + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.6

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.6.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 3 (2 h) + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 6 h + 3 h^{2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 + 6 h + 3 h^{2}}{1}$

Etapa 1.4

Divida $3 + 6 h + 3 h^{2}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 3 + 6 h + 3 h^{2}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Etapa 2.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$3 + lim_{h \to 0} 6 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Etapa 2.3

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2}$

Etapa 2.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2}$

Etapa 2.5

Mova o expoente $2$ de $h^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 + 6 lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$3 + 6 \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$3 + 6 \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$3 + 0 + 3 \cdot 0^{2}$

Etapa 4.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 + 0 + 3 \cdot 0$

Etapa 4.1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$3 + 0 + 0$

Etapa 4.2

Some $3$ e $0$ .

$3 + 0$

Etapa 4.3

Some $3$ e $0$ .

$3$