Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos (2 h)}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 1 - \cos (2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \cos (2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{h \to 0} \cos (2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{h \to 0} 2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1 - \cos (2 lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos (2 h)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [1 - \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [1 - \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (2 h)$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $1$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- \cos (2 h)$ em relação a $h$ é $- \frac{d}{d h} [\cos (2 h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [\cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = \cos (h)$ e $g (h) = 2 h$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [2 h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d h} [2 h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) \frac{d}{d h} [2 h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.3

Como $2$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2 h$ em relação a $h$ é $2 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) (2 \frac{d}{d h} [h]))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) \cdot 2)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- 2 \sin (2 h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $2 \sin (2 h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (2 h)}{1}$

Etapa 1.4

Divida $2 \sin (2 h)$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 \sin (2 h)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} \sin (2 h)$

Etapa 2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$2 \sin (lim_{h \to 0} 2 h)$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$2 \sin (2 lim_{h \to 0} h)$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$2 \sin (2 \cdot 0)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 \sin (0)$

Etapa 4.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$2 \cdot 0$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$0$