Cálculo Exemplos

$lim_{k \to 8} {(1 - \frac{1}{k})}^{k}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k}{k} - \frac{1}{k})}^{k}$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k - 1}{k})}^{k}$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(\frac{k - 1}{k})}^{k}$ como $e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$ .

$lim_{k \to 8} e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})$ movendo $k$ para fora do logaritmo.

$lim_{k \to 8} e^{k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{k \to 8} k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $k$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Etapa 3.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} \frac{k - 1}{k})}$

Etapa 3.4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $k$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $k$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - lim_{k \to 8} 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $k$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $k$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $k$ substituindo $8$ por $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $k$ substituindo $8$ por $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $k$ substituindo $8$ por $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8})}$

Etapa 5.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8}$

Etapa 5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(\frac{8 - 1}{8})}^{8}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $1$ de $8$ .

${(\frac{7}{8})}^{8}$

Etapa 5.4

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{8}$ .

$\frac{7^{8}}{8^{8}}$

Etapa 5.5

Eleve $7$ à potência de $8$ .

$\frac{5764801}{8^{8}}$

Etapa 5.6

Eleve $8$ à potência de $8$ .

$\frac{5764801}{16777216}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5764801}{16777216}$

Forma decimal:

$0.34360891 \dots$