Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5.3

Subtraia $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.5.4

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Etapa 1.1.3.3.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.4.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 1.3.5.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 1.3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 1.3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}$

Etapa 1.3.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{- 2 \sin (2 x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{- 2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (2 x)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Etapa 2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Etapa 2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Etapa 2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Etapa 2.7

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 4.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 4.2.4

Reescreva $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.2.4.1

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 4.2.4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.4.2.1

Reduza a expressão $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 4.2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{1}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 4.2.4.2.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{4})}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Etapa 4.3.1.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Etapa 4.3.1.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sin (\frac{π}{2})}$

Etapa 4.3.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{1}$

Etapa 4.4

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Etapa 4.5

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$- 0.70710678 \dots$