Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x - \frac{π}{2}}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Etapa 1.2

Combine $x$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Etapa 1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Etapa 2.1.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Etapa 2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - π}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$2 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Etapa 3.1.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Etapa 3.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Etapa 3.1.3.1.3

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Etapa 3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$2 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Etapa 3.1.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{0}{π - π}$

Etapa 3.1.3.3.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \cdot 2 - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 3.3.4.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 3.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 3.3.4.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 3.3.5

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + 0}$

Etapa 3.3.6

Some $2$ e $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)$

Etapa 4.2

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

Etapa 4.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$1 \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 6.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 6.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$