Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 a x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $4 a$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $a^{2}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie o limite de $a$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.8

Avalie os limites substituindo $\frac{a}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{a}{2}$ por $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{a}{2}$ por $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{a}{2}$ por $x$ .

$\frac{4 {(\frac{a}{2})}^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{a}{2}$ .

$\frac{4 \frac{a^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 \frac{a^{2}}{4} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \frac{a^{2}}{4} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{a^{2} - 1 \cdot 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{a^{2} - 4 a \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1.5.1

Fatore $2$ de $- 4 a$ .

$\frac{a^{2} + 2 (- 2 a) \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{a^{2} + 2 (- 2 a) \frac{a}{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{a^{2} - 2 a \cdot a + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.6

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 (a^{1} a) + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.7

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 (a^{1} a^{1}) + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{a^{2} - 2 a^{1 + 1} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + 2 \frac{a}{2} + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.1.10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a + a^{2} - a}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.2

Combine os termos opostos em $a^{2} - 2 a^{2} + a + a^{2} - a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.2.1

Subtraia $a$ de $a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a^{2} + 0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.2.2

Some $a^{2} - 2 a^{2} + a^{2}$ e $0$ .

$\frac{a^{2} - 2 a^{2} + a^{2}}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.3

Subtraia $2 a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{- a^{2} + a^{2}}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.2.9.4

Some $- a^{2}$ e $a^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - lim_{x \to \frac{a}{2}} a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie o limite de $a^{2}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - lim_{x \to \frac{a}{2}} a}$

Etapa 1.1.3.6

Avalie o limite de $a$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{a}{2}} x)}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.3.7

Avalie os limites substituindo $\frac{a}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{a}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{a}{2})}^{2} + 2 lim_{x \to \frac{a}{2}} x - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{a}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{a}{2})}^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.3.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.8.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{a}{2}$ .

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{2^{2}} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.3.8.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{4} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.3.8.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.8.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{4 \frac{a^{2}}{4} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.3.8.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{a^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.3.8.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.8.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{a^{2} + 2 \frac{a}{2} - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.3.8.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{a^{2} + a - a^{2} - a}$

Etapa 1.1.3.8.2

Combine os termos opostos em $a^{2} + a - a^{2} - a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.8.2.1

Subtraia $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{0}{a + 0 - a}$

Etapa 1.1.3.8.2.2

Some $a$ e $0$ .

$\frac{0}{a - a}$

Etapa 1.1.3.8.2.3

Subtraia $a$ de $a$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.8.2.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.8.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a}{4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a} = lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 4 a x + 2 x + a^{2} - a$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 4 a x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 a x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 4 a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 a x$ em relação a $x$ é $- 4 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + \frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.6

Como $a^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- a]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.7

Como $- a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- a$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1.1

Some $8 x - 4 a + 2$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.8.1.2

Some $8 x - 4 a + 2$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{8 x - 4 a + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.8.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a]}$

Etapa 1.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 2 x - a^{2} - a$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.10.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Etapa 1.3.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Etapa 1.3.10.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Etapa 1.3.11

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.3.11.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Etapa 1.3.11.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Etapa 1.3.11.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + \frac{d}{d x} [- a^{2}] + \frac{d}{d x} [- a]}$

Etapa 1.3.12

Como $- a^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- a^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- a]}$

Etapa 1.3.13

Como $- a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- a$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0 + 0}$

Etapa 1.3.14

Combine os termos.

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Etapa 1.3.14.1

Some $8 x + 2$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2 + 0}$

Etapa 1.3.14.2

Some $8 x + 2$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 4 a + 8 x + 2}{8 x + 2}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $- 4 a + 8 x + 2$ e $8 x + 2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $- 4 a$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a) + 8 x + 2}{8 x + 2}$

Etapa 1.4.2

Fatore $2$ de $8 x$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a) + 2 (4 x) + 2}{8 x + 2}$

Etapa 1.4.3

Fatore $2$ de $2 (- 2 a) + 2 (4 x)$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x) + 2}{8 x + 2}$

Etapa 1.4.4

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x) + 2 \cdot 1}{8 x + 2}$

Etapa 1.4.5

Fatore $2$ de $2 (- 2 a + 4 x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{8 x + 2}$

Etapa 1.4.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.6.1

Fatore $2$ de $8 x$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x) + 2}$

Etapa 1.4.6.2

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x) + 2 (1)}$

Etapa 1.4.6.3

Fatore $2$ de $2 (4 x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x + 1)}$

Etapa 1.4.6.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{2 (- 2 a + 4 x + 1)}{2 (4 x + 1)}$

Etapa 1.4.6.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \frac{a}{2}} \frac{- 2 a + 4 x + 1}{4 x + 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{a}{2}} - 2 a + 4 x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- lim_{x \to \frac{a}{2}} 2 a + lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $2 a$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Etapa 2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + 1}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{a}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}$

Etapa 2.7

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + lim_{x \to \frac{a}{2}} 1}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{a}{2}$ .

$\frac{- 2 a + 4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $\frac{a}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{a}{2}$ por $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 \frac{a}{2} + 1}{4 lim_{x \to \frac{a}{2}} x + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{a}{2}$ por $x$ .

$\frac{- 2 a + 4 \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{- 2 a + 2 (2) \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Etapa 4.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 a + 2 \cdot 2 \frac{a}{2} + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Etapa 4.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 a + 2 a + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Etapa 4.1.2

Some $- 2 a$ e $2 a$ .

$\frac{0 + 1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Etapa 4.1.3

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{4 \frac{a}{2} + 1}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2) \frac{a}{2} + 1}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2 \frac{a}{2} + 1}$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 a + 1}$