Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{8 \cos (x)}{\cot (x)}$

Etapa 1

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$8 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$8 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Etapa 2.1.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$8 \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$8 \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Etapa 2.1.3.3

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$8 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$8 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$8 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \csc^{2} (x)}$

Etapa 2.4

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\csc^{2} (x)}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

Etapa 3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

Etapa 3.3

Mova o expoente $2$ de $\csc^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a cossecante é contínua.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$8 \frac{1}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$8 \frac{1}{1^{2}}$

Etapa 5.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 (\frac{1}{1})$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$8 (\frac{1}{1})$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$8 \cdot 1$

Etapa 5.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$8$