Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - 3}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.2.6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.6.2.1.1

Some $9$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.2.6.2.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.2.6.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.2.6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{9 - t} - 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{9 - t}$ como ${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(9 - t)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 9 - t$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 - t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 - t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.13

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.15

Combine $\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.16

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.17

Reescreva $- 1 {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.18

Mova ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.3.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.5

Some $- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{9 - t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - t}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t}}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t}}$

Etapa 2.8

Simplifique os termos.

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Etapa 2.8.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

Etapa 2.8.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.8.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.8.2.1.1

Some $9$ e $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

Etapa 2.8.2.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 2.8.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 2.8.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 2}$

Etapa 2.8.2.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{1}{6}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{6}$

Forma decimal:

$- 0.1\overline{6}$