Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6}{9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6 x^{3} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 17 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{3} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 17 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 17 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $17$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.6

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.8

Avalie os limites substituindo $\frac{- 2}{3}$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{- 2}{3}$ por $x$ .

$\frac{6 {(\frac{- 2}{3})}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{- 2}{3}$ por $x$ .

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(\frac{- 2}{3})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.8.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.8.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{- 2}{3}$ por $x$ .

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (\frac{- 2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.8.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{6 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{6 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{6 (- \frac{8}{3^{3}}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{6 (- \frac{8}{27}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{8}{27}$ para o numerador.

$\frac{6 (\frac{- 8}{27}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.5.2

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 (2) \frac{- 8}{27} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.5.3

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot 2 \frac{- 8}{3 \cdot 9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2 \frac{- 8}{3 \cdot 9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (\frac{- 8}{9}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.6

Combine $2$ e $\frac{- 8}{9}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 8}{9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.7

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$\frac{\frac{- 16}{9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.11

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 \frac{4}{3^{2}} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.13

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 (\frac{4}{9}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.14

Multiplique $- 17 (\frac{4}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1.14.1

Combine $- 17$ e $\frac{4}{9}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} + \frac{- 17 \cdot 4}{9} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.14.2

Multiplique $- 17$ por $4$ .

$\frac{- \frac{16}{9} + \frac{- 68}{9} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.16

Multiplique $- 5 (- \frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1.16.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} + 5 (\frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.16.2

Combine $5$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} + \frac{5 \cdot 2}{3} + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.1.16.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} + \frac{10}{3} + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 + \frac{- 16 - 68}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.3

Subtraia $68$ de $- 16$ .

$\frac{6 + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.4

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.1

Escreva $6$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{\frac{6}{1} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.4.2

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{6}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.4.3

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.4.4

Multiplique $\frac{10}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.4.5

Multiplique $\frac{10}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.4.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10 \cdot 3}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{6 \cdot 9 - 84 + 10 \cdot 3}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.6.1

Multiplique $6$ por $9$ .

$\frac{\frac{54 - 84 + 10 \cdot 3}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.6.2

Multiplique $10$ por $3$ .

$\frac{\frac{54 - 84 + 30}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.7

Subtraia $84$ de $54$ .

$\frac{\frac{- 30 + 30}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.8

Some $- 30$ e $30$ .

$\frac{\frac{0}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.2.9.9

Divida $0$ por $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 36 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{9 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{3} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 36 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 36 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $36$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Etapa 1.1.3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Etapa 1.1.3.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Etapa 1.1.3.7

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.8

Avalie os limites substituindo $\frac{- 2}{3}$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{- 2}{3}$ por $x$ .

$\frac{0}{9 {(\frac{- 2}{3})}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{- 2}{3}$ por $x$ .

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(\frac{- 2}{3})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.8.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.8.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{- 2}{3}$ por $x$ .

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.8.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.9.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{9 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{9 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{9 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{9 (- \frac{8}{3^{3}}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{9 (- \frac{8}{27}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.5

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.9.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{8}{27}$ para o numerador.

$\frac{0}{9 (\frac{- 8}{27}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.5.2

Fatore $9$ de $27$ .

$\frac{0}{9 \frac{- 8}{9 (3)} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{9 \frac{- 8}{9 \cdot 3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{\frac{- 8}{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.9.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.9

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 \frac{4}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 (\frac{4}{9}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.12

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.9.1.12.1

Fatore $9$ de $36$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 9 (4) \frac{4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 9 \cdot 4 \frac{4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 4 \cdot 4 - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.13

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.14

Multiplique $- 4 (- \frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.9.1.14.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + 4 (\frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.14.2

Combine $4$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + \frac{4 \cdot 2}{3} - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.14.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + \frac{8}{3} - 1 \cdot 16}$

Etapa 1.1.3.9.1.15

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + \frac{8}{3} - 16}$

Etapa 1.1.3.9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0}{16 - 16 + \frac{- 8 + 8}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.3

Some $- 8$ e $8$ .

$\frac{0}{16 - 16 + \frac{0}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.4

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.9.4.1

Escreva $16$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{0}{\frac{16}{1} - 16 + \frac{0}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.4.2

Multiplique $\frac{16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16}{1} \cdot \frac{3}{3} - 16 + \frac{0}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.4.3

Multiplique $\frac{16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} - 16 + \frac{0}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.4.4

Escreva $- 16$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} + \frac{- 16}{1} + \frac{0}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.4.5

Multiplique $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{0}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.4.6

Multiplique $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{0}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3 - 16 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.9.6.1

Multiplique $16$ por $3$ .

$\frac{0}{\frac{48 - 16 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.6.2

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$\frac{0}{\frac{48 - 48}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.7

Subtraia $48$ de $48$ .

$\frac{0}{\frac{0}{3}}$

Etapa 1.1.3.9.8

Divida $0$ por $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.9.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.10

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6}{9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16} = lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{3}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $3$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 17 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 17$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 17 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 17 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 17 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $- 17$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.6

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 + 0}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.7

Some $18 x^{2} - 34 x - 5$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Etapa 1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{3}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.10.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.10.3

Multiplique $2$ por $36$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.11

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.11.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.11.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.11.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Etapa 1.3.12

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 + 0}$

Etapa 1.3.13

Some $27 x^{2} + 72 x - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 18 x^{2} - 34 x - 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 18 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 34 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Etapa 2.3

Mova o termo $18$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{18 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 34 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 34 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Etapa 2.5

Mova o termo $34$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 72 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Etapa 2.8

Mova o termo $27$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 72 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Etapa 2.9

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 72 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Etapa 2.10

Mova o termo $72$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Etapa 2.11

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $\frac{- 2}{3}$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{- 2}{3}$ por $x$ .

$\frac{18 {(\frac{- 2}{3})}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{- 2}{3}$ por $x$ .

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{- 2}{3}$ por $x$ .

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(\frac{- 2}{3})}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.7

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{- 2}{3}$ por $x$ .

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{18 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{18 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{18 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{18 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{18 \frac{4}{3^{2}} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{18 (\frac{4}{9}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Fatore $9$ de $18$ .

$\frac{9 (2) \frac{4}{9} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \cdot 2 \frac{4}{9} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot 4 - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{8 - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.8

Multiplique $- 34 (- \frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 34$ .

$\frac{8 + 34 (\frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.8.2

Combine $34$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{8 + \frac{34 \cdot 2}{3} - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.8.3

Multiplique $34$ por $2$ .

$\frac{8 + \frac{68}{3} - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.9

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{8 + \frac{68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.10

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.11

Combine $8$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{8 \cdot 3 + 68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.13.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{\frac{24 + 68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.13.2

Some $24$ e $68$ .

$\frac{\frac{92}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.14

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{92}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.15

Combine $- 5$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{92}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{92 - 5 \cdot 3}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.17

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.17.1

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{\frac{92 - 15}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.17.2

Subtraia $15$ de $92$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 \frac{4}{3^{2}} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 (\frac{4}{9}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.6

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Fatore $9$ de $27$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{9 (3) \frac{4}{9} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{77}{3}}{9 \cdot 3 \frac{4}{9} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{77}{3}}{3 \cdot 4 + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.7

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.8

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 72 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.8.2

Fatore $3$ de $72$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 3 (24) \frac{- 2}{3} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.8.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 3 \cdot 24 \frac{- 2}{3} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.8.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 24 \cdot - 2 - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.9

Multiplique $24$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 - 48 - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.2.10

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 - 48 - 4}$

Etapa 4.2.11

Subtraia $48$ de $12$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{- 36 - 4}$

Etapa 4.2.12

Subtraia $4$ de $- 36$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{- 40}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{77}{3} \cdot \frac{1}{- 40}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{77}{3} (- \frac{1}{40})$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{77}{3} (- \frac{1}{40})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Multiplique $\frac{77}{3}$ por $\frac{1}{40}$ .

$- \frac{77}{3 \cdot 40}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $3$ por $40$ .

$- \frac{77}{120}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{77}{120}$

Forma decimal:

$- 0.641\overline{6}$