Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x^{2} + 5 x - 2}{6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 5 x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $\frac{1}{3}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{3}$ por $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{3}$ por $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.1.2.7.1.2.1

Fatore $3$ de $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\frac{1}{3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

Combine $5$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 + \frac{1 + 5}{3}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.3

Some $1$ e $5$ .

$\frac{- 2 + \frac{6}{3}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.4

Divida $6$ por $3$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.5

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $\frac{1}{3}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{3}$ por $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{3})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{3}$ por $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{6 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{6 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{6 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.1.3.6.1.4.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{0}{3 (2) \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.1.4.2

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2 \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.1.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{3 \cdot 2 \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.1.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{2 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.1.5

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - 1}$

Etapa 1.1.3.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0}{- 1 + \frac{2 + 1}{3}}$

Etapa 1.1.3.6.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{0}{- 1 + \frac{3}{3}}$

Etapa 1.1.3.6.4

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Etapa 1.1.3.6.5

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x^{2} + 5 x - 2}{6 x^{2} + x - 1} = lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 5 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Etapa 1.3.6

Some $6 x + 5$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} + x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1 + 0}$

Etapa 1.3.11

Some $12 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Etapa 2.3

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Etapa 2.6

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 1}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $\frac{1}{3}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{3}$ por $x$ .

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 1}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{3}$ por $x$ .

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 (2) \frac{1}{3} + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Etapa 4.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Etapa 4.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Etapa 4.1.2

Some $2$ e $5$ .

$\frac{7}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{7}{3 (4) \frac{1}{3} + 1}$

Etapa 4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{3 \cdot 4 \frac{1}{3} + 1}$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{4 + 1}$

Etapa 4.2.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{7}{5}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{7}{5}$

Forma decimal:

$1.4$