Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{(\frac{x}{(x + 1)}) - (\frac{4}{5})}{x - 4}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{x}{(x + 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{(x + 1)} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{4}{5})}{x - 4}$

Etapa 1.2

Para escrever $- (\frac{4}{5})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{(x + 1)} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{4}{5}) \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}{x - 4}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 1) \cdot 5$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{x}{(x + 1)}$ por $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} - (\frac{4}{5}) \cdot \frac{x + 1}{x + 1}}{x - 4}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{4}{5}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{(x + 1) \cdot 5} - \frac{4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x + 1) \cdot 5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5}{5 (x + 1)} - \frac{4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)}}{x - 4}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1)}$ por $\frac{1}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{5 (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{(x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 5 - lim_{x \to 4} 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4 (x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 lim_{x \to 4} x + 1}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 (lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 4} x - 4 (lim_{x \to 4} x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.2.6

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 4 - 4 (lim_{x \to 4} x + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 4 - 4 (4 + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.7.1.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 4 (4 + 1)}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.2.7.1.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 4 \cdot 5}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.2.7.1.3

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20 - 20}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.2.7.2

Subtraia $20$ de $20$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 4} (x + 1) (x - 4)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 4} x + 1 \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1) \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 3.1.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 3.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

Etapa 3.1.3.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 4} x + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Etapa 3.1.3.6

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(4 + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Etapa 3.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{(4 + 1) \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Etapa 3.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.7.1

Some $4$ e $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Etapa 3.1.3.7.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot (4 - 4)}$

Etapa 3.1.3.7.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{5 \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.7.4

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.7.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{x \cdot 5 - 4 (x + 1)}{(x + 1) (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5 - 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5 - 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \cdot 5 - 4 (x + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \cdot 5] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 5] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x \cdot 5]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.3.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.3.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 + \frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 (x + 1)]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 (x + 1)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.4.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.4.6

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{5 - 4}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.5

Subtraia $4$ de $5$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 4)]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 4$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 3.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 3.3.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 3.3.10

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 3.3.11

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Etapa 3.3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 3.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Etapa 3.3.14

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) (1 + 0)}$

Etapa 3.3.15

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + (x - 4) \cdot 1}$

Etapa 3.3.16

Multiplique $x - 4$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{x + 1 + x - 4}$

Etapa 3.3.17

Some $x$ e $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x + 1 - 4}$

Etapa 3.3.18

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x - 3}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 3}$

Etapa 4.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 3}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8 - 1 \cdot 3}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8 - 3}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $3$ de $8$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 5}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{1}{25}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{25}$

Forma decimal:

$0.04$