Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} - 27}{t^{2} - 9}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} - 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} - lim_{t \to 3} 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $3$ de $t^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - lim_{t \to 3} 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $27$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $3$ por $t$ .

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$\frac{27 - 27}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $27$ de $27$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{2} - 9}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $t^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $3$ por $t$ .

$\frac{0}{3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} - 27}{t^{2} - 9} = lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{3} - 27$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 27]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 27$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 27$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.5

Some $3 t^{2}$ e $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2}}{\frac{d}{d t} [t^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2}}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2}}{2 t + \frac{d}{d t} [- 9]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 9$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2}}{2 t + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $2 t$ e $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2}}{2 t}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $t^{2}$ e $t$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $t$ de $3 t^{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{t (3 t)}{2 t}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $t$ de $2 t$ .

$lim_{t \to 3} \frac{t (3 t)}{t \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to 3} \frac{t (3 t)}{t \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to 3} \frac{3 t}{2}$

Etapa 2

Mova o termo $\frac{3}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{3}{2} lim_{t \to 3} t$

Etapa 3

Avalie o limite de $t$ substituindo $3$ por $t$ .

$\frac{3}{2} \cdot 3$

Etapa 4

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2}$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{9}{2}$

Forma decimal:

$4.5$