Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{t^{3} - 9 t}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} + lim_{t \to 3} 19 t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $3$ de $t^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + lim_{t \to 3} 19 t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $19$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 lim_{t \to 3} t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o expoente $2$ de $t^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o termo $68$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $3$ por $t$ .

$\frac{3^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $3$ por $t$ .

$\frac{3^{3} + 19 \cdot 3^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.7.3

Avalie o limite de $t$ substituindo $3$ por $t$ .

$\frac{3^{3} + 19 \cdot 3^{2} - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{27 + 19 \cdot 3^{2} - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{27 + 19 \cdot 9 - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Multiplique $19$ por $9$ .

$\frac{27 + 171 - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.8.1.4

Multiplique $- 68$ por $3$ .

$\frac{27 + 171 - 204 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.8.2

Some $27$ e $171$ .

$\frac{198 - 204 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.8.3

Subtraia $204$ de $198$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.2.8.4

Some $- 6$ e $6$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{3} - lim_{t \to 3} 9 t}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $3$ de $t^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - lim_{t \to 3} 9 t}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - 9 lim_{t \to 3} t}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $3$ por $t$ .

$\frac{0}{3^{3} - 9 lim_{t \to 3} t}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $3$ por $t$ .

$\frac{0}{3^{3} - 9 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{27 - 9 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$\frac{0}{27 - 27}$

Etapa 1.1.3.5.2

Subtraia $27$ de $27$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{t^{3} - 9 t} = lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d t} [19 t^{2}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $19$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $19 t^{2}$ em relação a $t$ é $19 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 19 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 19 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $19$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d t} [- 68 t]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $- 68$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 68 t$ em relação a $t$ é $- 68 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $- 68$ por $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3.6

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 + 0}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3.7

Some $3 t^{2} + 38 t - 68$ e $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

Etapa 1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{3} - 9 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9 t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9 t]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d t} [- 9 t]$ .

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Etapa 1.3.10.1

Como $- 9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 9 t$ em relação a $t$ é $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9 \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9 \cdot 1}$

Etapa 1.3.10.3

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} 3 t^{2} + 38 t - 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} 3 t^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Etapa 2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{3 lim_{t \to 3} t^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $2$ de $t^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Etapa 2.5

Mova o termo $38$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $68$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

Etapa 2.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

Etapa 2.8

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 lim_{t \to 3} t^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

Etapa 2.9

Mova o expoente $2$ de $t^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

Etapa 2.10

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $3$ por $t$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $3$ por $t$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $t$ substituindo $3$ por $t$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3^{1 + 2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3^{3} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{27 + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $38$ por $3$ .

$\frac{27 + 114 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $68$ .

$\frac{27 + 114 - 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.1.5

Some $27$ e $114$ .

$\frac{141 - 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.1.6

Subtraia $68$ de $141$ .

$\frac{73}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{73}{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{73}{3^{1 + 2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{73}{3^{3} - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{73}{27 - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{73}{27 - 9}$

Etapa 4.2.4

Subtraia $9$ de $27$ .

$\frac{73}{18}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{73}{18}$

Forma decimal:

$4.0\overline{5}$