Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{t \cos (t)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (4 t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} 4 t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{\sin (4 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Etapa 1.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Etapa 1.1.3.3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.4.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{t \cos (t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (4 t)]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (4 t)]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 4 t$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Etapa 1.3.3

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) (4 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Etapa 1.3.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) \cdot 4}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Etapa 1.3.6

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (4 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cdot \cos (4 t)}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = \cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.8

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [t]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t) \cdot 1}$

Etapa 1.3.10

Multiplique $\cos (t)$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t)}$

Etapa 1.3.11

Reordene os termos.

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{- t \sin (t) + \cos (t)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t)}{- t \sin (t) + \cos (t)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{lim_{t \to 0} \cos (4 t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Etapa 2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$4 \frac{\cos (lim_{t \to 0} 4 t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Etapa 2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \sin (t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \sin (t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Etapa 2.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Etapa 2.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $t$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$4 \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Etapa 4.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$4 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$4 \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (0)}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $0$ por $0$ .

$4 \frac{1}{0 + \cos (0)}$

Etapa 4.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

Etapa 4.2.4

Some $0$ e $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$4 \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$