Cálculo Exemplos

$\frac{lim_{x \to 8} 10^{8} x^{5} + 10^{6} x^{4} + 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 10^{8} x^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 2

Mova o termo $10^{8}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{10^{8} lim_{x \to 8} x^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 3

Mova o expoente $5$ de $x^{5}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 4

Mova o termo $10^{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 5

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 6

Mova o termo $10^{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} lim_{x \to 8} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 7

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Eleve $10$ à potência de $8$ .

$\frac{100000000 \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.1.2

Eleve $8$ à potência de $5$ .

$\frac{100000000 \cdot 32768 + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $100000000$ por $32768$ .

$\frac{3276800000000 + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.1.4

Eleve $10$ à potência de $6$ .

$\frac{3276800000000 + 1000000 \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.1.5

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$\frac{3276800000000 + 1000000 \cdot 4096 + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $1000000$ por $4096$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.1.7

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10000 \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.1.8

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10000 \cdot 64}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.1.9

Multiplique $10000$ por $64$ .

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.1.10

Some $3276800000000$ e $4096000000$ .

$\frac{3280896000000 + 640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.1.11

Some $3280896000000$ e $640000$ .

$\frac{3280896640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1

Fatore $10^{5} x^{3}$ de $10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}$ .

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Etapa 9.2.1.1

Fatore $10^{5} x^{3}$ de $10^{9} x^{6}$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.2.1.2

Fatore $10^{5} x^{3}$ de $10^{7} x^{5}$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3}}$

Etapa 9.2.1.3

Fatore $10^{5} x^{3}$ de $10^{5} x^{3}$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)}$

Etapa 9.2.1.4

Fatore $10^{5} x^{3}$ de $10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2})$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)}$

Etapa 9.2.1.5

Fatore $10^{5} x^{3}$ de $10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2} + 1)}$

Etapa 9.2.2

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10000 x^{3} + 10^{2} x^{2} + 1)}$

Etapa 9.2.3

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1)}$

Etapa 9.2.4

Fatore $10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 9.2.4.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 10000, \pm 2, \pm 5000, \pm 4, \pm 2500, \pm 5, \pm 2000, \pm 8, \pm 1250, \pm 10, \pm 1000, \pm 16, \pm 625, \pm 20, \pm 500, \pm 25, \pm 400, \pm 40, \pm 250, \pm 50, \pm 200, \pm 80, \pm 125, \pm 100$

Etapa 9.2.4.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.0001, \pm 0.5, \pm 0.0002, \pm 0.25, \pm 0.0004, \pm 0.2, \pm 0.0005, \pm 0.125, \pm 0.0008, \pm 0.1, \pm 0.001, \pm 0.0625, \pm 0.0016, \pm 0.05, \pm 0.002, \pm 0.04, \pm 0.0025, \pm 0.025, \pm 0.004, \pm 0.02, \pm 0.005, \pm 0.0125, \pm 0.008, \pm 0.01$

Etapa 9.2.4.3

Substitua $- 0.05$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.05$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 9.2.4.3.1

Substitua $- 0.05$ no polinômio.

$10000 {(- 0.05)}^{3} + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

Etapa 9.2.4.3.2

Eleve $- 0.05$ à potência de $3$ .

$10000 \cdot - 0.000125 + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

Etapa 9.2.4.3.3

Multiplique $10000$ por $- 0.000125$ .

$- 1.25 + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

Etapa 9.2.4.3.4

Eleve $- 0.05$ à potência de $2$ .

$- 1.25 + 100 \cdot 0.0025 + 1$

Etapa 9.2.4.3.5

Multiplique $100$ por $0.0025$ .

$- 1.25 + 0.25 + 1$

Etapa 9.2.4.3.6

Some $- 1.25$ e $0.25$ .

$- 1 + 1$

Etapa 9.2.4.3.7

Some $- 1$ e $1$ .

$0$

Etapa 9.2.4.4

Como $- 0.05$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $20 x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1}{20 x + 1}$

Etapa 9.2.4.5

Divida $10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ por $20 x + 1$ .

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Etapa 9.2.4.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$20 x$

$1$

$10000 x^{3}$

$100 x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 9.2.4.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10000 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $20 x$ .

					$500 x^{2}$
	$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Etapa 9.2.4.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$10000 x^{3}$	+	$500 x^{2}$

Etapa 9.2.4.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10000 x^{3} + 500 x^{2}$ .

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$

Etapa 9.2.4.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$

Etapa 9.2.4.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 9.2.4.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 400 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $20 x$ .

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 9.2.4.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$400 x^{2}$	-	$20 x$

Etapa 9.2.4.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 400 x^{2} - 20 x$ .

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$

Etapa 9.2.4.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$

Etapa 9.2.4.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$

Etapa 9.2.4.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $20 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $20 x$ .

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$

Etapa 9.2.4.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							+	$20 x$	+	$1$

Etapa 9.2.4.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $20 x + 1$ .

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							-	$20 x$	-	$1$

Etapa 9.2.4.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							-	$20 x$	-	$1$
										$0$

Etapa 9.2.4.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$500 x^{2} - 20 x + 1$

Etapa 9.2.4.6

Escreva $10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ como um conjunto de fatores.

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} ((20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

Etapa 9.2.5

Eleve $10$ à potência de $5$ .

$\frac{3280896640000}{100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $3280896640000$ e $100000$ .

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Etapa 9.3.1

Fatore $20000$ de $3280896640000$ .

$\frac{20000 (164044832)}{100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

Etapa 9.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Fatore $20000$ de $100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)$ .

$\frac{20000 (164044832)}{20000 (5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

Etapa 9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{20000 \cdot 164044832}{20000 (5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

Etapa 9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{164044832}{5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$