Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 6} - \frac{1}{6}}{x}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{x + 6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 6} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6}}{x}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{1}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 6} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}}{x}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 6) \cdot 6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x + 6}$ por $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(x + 6) \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}}{x}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(x + 6) \cdot 6} - \frac{x + 6}{6 (x + 6)}}{x}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x + 6) \cdot 6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{6 (x + 6)} - \frac{x + 6}{6 (x + 6)}}{x}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 - (x + 6)}{6 (x + 6)}}{x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (x + 6)}{6 (x + 6)} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{6 - (x + 6)}{6 (x + 6)}$ por $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (x + 6)}{6 (x + 6) x}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{6 - (x + 6)}{(x + 6) x}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 6 - (x + 6)}{lim_{x \to 0} (x + 6) x}$

Etapa 3.1.2

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite de $6 - (x + 6)$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - (0 + 6)}{lim_{x \to 0} (x + 6) x}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Some $0$ e $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 0} (x + 6) x}$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 6}{lim_{x \to 0} (x + 6) x}$

Etapa 3.1.2.3

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x + 6) x}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x + 6 \cdot lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.3.3

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + 6) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(0 + 6) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(0 + 6) \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.5.1

Some $0$ e $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{6 \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.5.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (x + 6)}{(x + 6) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (x + 6)]}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (x + 6)]}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 - (x + 6)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (x + 6)]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (x + 6)]}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Etapa 3.3.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x + 6)]}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x + 6)]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x + 6)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x + 6]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x + 6]}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Etapa 3.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Etapa 3.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Etapa 3.3.4.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Etapa 3.3.4.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Etapa 3.3.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Etapa 3.3.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 6$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 6) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 6) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $x + 6$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x \frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 3.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}$

Etapa 3.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x (1 + \frac{d}{d x} [6])}$

Etapa 3.3.11

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x (1 + 0)}$

Etapa 3.3.12

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x \cdot 1}$

Etapa 3.3.13

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x}$

Etapa 3.3.14

Some $x$ e $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 6}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 6}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $- 1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 6}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 6}$

Etapa 4.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 6}$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 6}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{0 + 6}$

Etapa 6.1.2

Some $0$ e $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{6}$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6 \cdot 6}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$- \frac{1}{36}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{36}$

Forma decimal:

$- 0.02\overline{7}$