Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}} - 1}{x}$

Etapa 1

Reescreva ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ como $\sqrt[3]{1 + 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{1 + 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 1 + 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{1 + 2 x}$ como ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.10.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.13

Some $0$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.14

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.15

Combine $\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 2}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.16

Mova $2$ para a esquerda de ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.17

Mova ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Some $\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{2}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.4

Mova o expoente $\frac{2}{3}$ de ${(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.7

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + 2 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine.

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{2}{3 {(1 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.3.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

Etapa 5.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$