Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})$ movendo $\frac{1}{x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $\ln (\cos (x) + \sin (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.6.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.6.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.6.2

Some $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.6.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x) + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x) + \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(- \sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6.3

Combine $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ e $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6.4

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6.6

Fatore $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6.7

Fatore $- 1$ de $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) - 1 \cdot - 1 \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6.8

Fatore $- 1$ de $- (\sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6.9

Reescreva $- (\sin (x) - \cos (x))$ como $- 1 (\sin (x) - \cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1 (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{1}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot 1}$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Etapa 4.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Etapa 4.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

Etapa 4.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Etapa 4.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

Etapa 4.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{- \frac{0 - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Etapa 6.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{- \frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Etapa 6.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- \frac{0 - 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Etapa 6.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$e^{- \frac{- 1}{1 + \sin (0)}}$

Etapa 6.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{1 + 0}}$

Etapa 6.2.3

Some $1$ e $0$ .

$e^{- \frac{- 1}{1}}$

Etapa 6.3

Divida $- 1$ por $1$ .

$e^{- - 1}$

Etapa 6.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{1}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$e$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$