Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (8 x)}$

Etapa 1

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (8 x)}$ em $\csc^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (8 x)$

Etapa 2

Reescreva $x^{2} \csc^{2} (8 x)$ como $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Etapa 3

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Etapa 4

Avalie o valor crítico esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Etapa 4.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Etapa 4.1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Etapa 4.1.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Etapa 4.1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

Etapa 4.1.1.3.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.1.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Etapa 4.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \csc (8 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Etapa 4.1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Etapa 4.1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 4.1.3.4.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 4.1.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 4.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 4.1.3.6

Eleve $\csc (8 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 4.1.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 4.1.3.8

Subtraia $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 4.1.3.9

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 4.1.3.10

Multiplique $8$ por $2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.12

Multiplique $16$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

Etapa 4.1.3.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.13.1

Reescreva $\csc (8 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

Etapa 4.1.3.13.2

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

Etapa 4.1.3.13.3

Reescreva $\cot (8 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Etapa 4.1.3.13.4

Cancele o fator comum de $\sin (8 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.13.4.1

Fatore $\sin (8 x)$ de $16 \sin^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Etapa 4.1.3.13.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Etapa 4.1.3.13.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Etapa 4.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.1

Fatore $2$ de $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Etapa 4.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Etapa 4.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Etapa 4.1.5

Separe as frações.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

Etapa 4.1.6

Converta de $\frac{1}{\sin (8 x)}$ em $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

Etapa 4.1.7

Separe as frações.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

Etapa 4.1.8

Converta de $\frac{1}{\cos (8 x)}$ em $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

Etapa 4.1.9

Combine $\frac{x}{8}$ e $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

Etapa 4.1.10

Combine $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ e $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

Etapa 4.2

Mova o termo $\frac{1}{8}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

Etapa 4.3

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ - 0.1 & 0.20008531 \\ - 0.01 & 0.12553493 \\ - 0.001 & 0.12500533 \\ - 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

Etapa 4.4

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0.125$ . Portanto, o limite de $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $0.125$ .

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $0.125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Fatore $0.125$ de $8$ .

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

Etapa 4.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

Etapa 4.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{64}$

Etapa 5

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

Etapa 6

Avalie o valor crítico direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Etapa 6.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Etapa 6.1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Etapa 6.1.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

Etapa 6.1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

Etapa 6.1.1.3.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 6.1.1.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 6.1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Etapa 6.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

Etapa 6.1.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \csc (8 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Etapa 6.1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Etapa 6.1.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

Etapa 6.1.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 6.1.3.4.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 6.1.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 6.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 6.1.3.6

Eleve $\csc (8 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 6.1.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 6.1.3.8

Subtraia $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

Etapa 6.1.3.9

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 6.1.3.10

Multiplique $8$ por $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

Etapa 6.1.3.12

Multiplique $16$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

Etapa 6.1.3.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.13.1

Reescreva $\csc (8 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

Etapa 6.1.3.13.2

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

Etapa 6.1.3.13.3

Reescreva $\cot (8 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Etapa 6.1.3.13.4

Cancele o fator comum de $\sin (8 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.13.4.1

Fatore $\sin (8 x)$ de $16 \sin^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Etapa 6.1.3.13.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

Etapa 6.1.3.13.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Etapa 6.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Etapa 6.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.2.1

Fatore $2$ de $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Etapa 6.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

Etapa 6.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

Etapa 6.1.5

Separe as frações.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

Etapa 6.1.6

Converta de $\frac{1}{\sin (8 x)}$ em $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

Etapa 6.1.7

Separe as frações.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

Etapa 6.1.8

Converta de $\frac{1}{\cos (8 x)}$ em $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

Etapa 6.1.9

Combine $\frac{x}{8}$ e $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

Etapa 6.1.10

Combine $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ e $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

Etapa 6.2

Mova o termo $\frac{1}{8}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

Etapa 6.3

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ 0.1 & 0.20008531 \\ 0.01 & 0.12553493 \\ 0.001 & 0.12500533 \\ 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

Etapa 6.4

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $0.125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Fatore $0.125$ de $8$ .

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

Etapa 6.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

Etapa 6.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{64}$

Etapa 7

Como o valor crítico esquerdo é igual ao valor crítico direito, o limite é igual a $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{64}$

Forma decimal:

$0.015625$