Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.4.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.4.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.4.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.4.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - 1}$

Etapa 1.3.9

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Multiplique $\frac{1}{- 1}$ por $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- (2 \sqrt{x})}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{- 2 \sqrt{x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{- 2 \sqrt{x}}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{- 2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{1}{- 2} lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$- \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 4.2

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 4.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$