Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 1

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 2

Avalie os limites substituindo o valor pela variável.

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Etapa 2.1

Avalie o limite de $\frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$ é indefinido, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 3

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4

Avalie o valor crítico direito.

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Etapa 4.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.1.2

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.1.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.2.2

Expanda $\ln (x^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.3

Mova o limite para o expoente.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.4

Reescreva $x \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$9 \frac{1}{e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (x)$ diminui sem limites.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.1.3

Como o numerador é uma constante e o denominador se aproxima de $0$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima do infinito.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 4.5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.3.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.3.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.5

Combine $\frac{1}{x}$ e $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 4.5.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.5.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.6.2.3

Cancele o fator comum.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.6.2.4

Reescreva a expressão.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.5.6.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.6

Avalie o limite.

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Etapa 4.6.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$9 \frac{1}{e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$9 \frac{1}{e^{0}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Etapa 4.7

Como o numerador é positivo e o denominador $x$ se aproxima de zero e é maior do que zero para $x$ próximo a $0$ à direita, a função aumenta sem limite.

$9 \frac{1}{e^{0}} - \infty$

Etapa 4.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.8.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Etapa 4.8.1.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.8.1.2.1

Cancele o fator comum.

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Etapa 4.8.1.2.2

Reescreva a expressão.

$9 \cdot 1 - \infty$

Etapa 4.8.1.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$9 - \infty$

Etapa 4.8.1.4

Uma constante diferente de zero vezes infinito é igual a infinito.

$9 + - \infty$

Etapa 4.8.2

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$- \infty$

Etapa 5

Se um dos valores críticos unilaterais não existir, o limite não existirá.

$Não existe$