Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{x - \sin (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{1 - e^{0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.8.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.8.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.8.1.6

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.8.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.2.8.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Etapa 1.1.3.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.4.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{x - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- 2 x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 1.3.8.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \cos (x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.6

Mova o limite para o expoente.

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} - 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.7

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.8

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.9

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{2 e^{0} + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.10.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.10.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.10.1.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{2 + 2 e^{0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.10.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{2 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.10.1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.10.1.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 + 2 - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.10.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.2.10.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 2.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.3.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{- 2 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 2.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.4.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.4.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.4.7

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.6

Some $4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Etapa 2.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Etapa 2.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.9.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 2.3.9.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 - - \sin (x)}$

Etapa 2.3.9.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + 1 \sin (x)}$

Etapa 2.3.9.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + \sin (x)}$

Etapa 2.3.10

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\sin (x)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.6

Mova o limite para o expoente.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 e^{lim_{x \to 0} - 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.7

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.8

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.9.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{4 e^{0} - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.9.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.9.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.9.1.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{4 - 4 e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.9.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.9.1.6

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.2.9.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 3.1.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.3.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 e^{- 2 x}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 3.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.4.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} \cdot - 2)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.4.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (- 2 \cdot e^{- 2 x})}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.4.7

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{\cos (x)}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.3

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.4

Mova o limite para o expoente.

$\frac{8 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.6

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 lim_{x \to 0} e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.7

Mova o limite para o expoente.

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{lim_{x \to 0} - 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.8

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}}{\cos (0)}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Fatore $8$ de $8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}$ .

$\frac{8 (e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{8 (e^{0} + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

Etapa 6.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{8 (1 + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{8 (1 + e^{0})}{\cos (0)}$

Etapa 6.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{8 (1 + 1)}{\cos (0)}$

Etapa 6.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{8 \cdot 2}{\cos (0)}$

Etapa 6.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{8 \cdot 2}{1}$

Etapa 6.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{16}{1}$

Etapa 6.4

Divida $16$ por $1$ .

$16$