Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{2 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o expoente $2$ de $\tan^{2} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \tan (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (3 x)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.8

Reordene os fatores de $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}{1}$

Etapa 2.4

Divida $6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Etapa 3.3

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot 6 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Etapa 3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Etapa 3.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

Etapa 3.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 3 x)$

Etapa 3.7

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (3)) \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3) \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Etapa 5.1.3

Reescreva a expressão.

$3 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$3 \sec^{2} (0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Etapa 5.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$3 \cdot 1^{2} \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Etapa 5.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Etapa 5.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 \cdot \tan (3 \cdot 0)$

Etapa 5.6

Multiplique $3$ por $0$ .

$3 \cdot \tan (0)$

Etapa 5.7

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$3 \cdot 0$

Etapa 5.8

Multiplique $3$ por $0$ .

$0$