Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x}$

Etapa 1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 1.1

Combine os termos.

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Etapa 1.1.1

Para escrever $\frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x}$

Etapa 1.1.2

Para escrever $- \frac{2}{x^{2} + 2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 1.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (x^{2} + 2 x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2}{x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $\frac{2}{x^{2} + 2 x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2 x}{(x^{2} + 2 x) x}$

Etapa 1.1.3.3

Reordene os fatores de $(x^{2} + 2 x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2 x}{x (x^{2} + 2 x)}$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x - 2 x}{x (x^{2} + 2 x)}$

Etapa 1.1.5

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 0}{x (x^{2} + 2 x)}$

Etapa 1.1.6

Some $x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x (x^{2} + 2 x)}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + 2 x)}$

Etapa 1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + 2 x)}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Etapa 2.1.3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.5.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 2.1.3.5.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 2}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Etapa 5.2

Some $0$ e $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$