Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} | x | \cos (\frac{π}{x})$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} | x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

Etapa 1.2

Mova o limite para dentro dos sinais de valor absoluto.

$| lim_{x \to 0} x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

Etapa 2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$| 0 | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (\frac{π}{x})$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cos (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 1 \\ - 0.01 & 1 \\ - 0.001 & - 0.52509112 \\ - 0.0001 & 0.98390071 \\ - 0.00001 & 0.21498467 \\ - 0.000001 & - 0.11167431 \\ - 0.0000001 & 0.25336184 \\ - 0.00000001 & - 0.90154773 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $\cos (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $1$ .

$1$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cos (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 1 \\ 0.01 & 1 \\ 0.001 & - 0.66711772 \\ 0.0001 & - 0.10775036 \\ 0.00001 & 0.87550456 \\ 0.000001 & 0.98459857 \\ 0.0000001 & - 0.99950431 \\ 0.00000001 & 0.67066438 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

Etapa 8

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $\cos (\frac{π}{x})$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $1$ .

$| 0 | \cdot 1$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 9.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$