Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Etapa 1.1.3.2.2

Avalie o limite de $\arctan (x)$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - \arctan (0)}$

Etapa 1.1.3.2.3

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \arctan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \arctan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Etapa 1.3.5.2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique.

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Etapa 1.3.6.1

Combine os termos.

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Etapa 1.3.6.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.3.6.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2} - 1}{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.3.6.1.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2} + 0}{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.3.6.1.4

Some $x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Etapa 1.3.6.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} 3 x^{2} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Combine os fatores.

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Etapa 1.5.1

Combine $3$ e $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.5.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Etapa 1.6.2

Divida $3 (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 3 (x^{2} + 1)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Etapa 2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 (0^{2} + 1)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 (0 + 1)$

Etapa 4.2

Some $0$ e $1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 4.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$