Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x \csc (2 x)}{\cos (5 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Etapa 1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Etapa 1.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (2 x)$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \csc (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50334895 \\ - 0.01 & 0.50003333 \\ - 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0.5$ . Portanto, o limite de $x \csc (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $0.5$ .

$0.5$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (2 x)$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \csc (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50334895 \\ 0.01 & 0.50003333 \\ 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Etapa 8

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0.5$ . Portanto, o limite de $x \csc (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $0.5$ .

$\frac{0.5}{\cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Separe as frações.

$\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.2

Converta de $\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ em $\sec (5 \cdot 0)$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (5 \cdot 0)$

Etapa 9.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $0.5$ .

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Etapa 9.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Etapa 9.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sec (0)}{2}$

Etapa 9.5

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$