Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{2 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (- \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} - \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o termo $\frac{π}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = - \frac{π x}{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{π x}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{π x}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Como $- \frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π x}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \cdot - 1 \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Combine $\cos (- \frac{π x}{2})$ e $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.7.1

Como $\cos (- \frac{π x}{2})$ é uma função par, reescreva $\cos (- \frac{π x}{2})$ como $\cos (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7.2

Reordene os fatores em $\cos (\frac{π x}{2}) π$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{1}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

Etapa 3.2

Mova o termo $\frac{π}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} lim_{x \to 0} \cos (\frac{π x}{2})$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})$

Etapa 3.4

Mova o termo $\frac{π}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Etapa 5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Etapa 5.3

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Etapa 5.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Etapa 5.4

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $0$ .

$- \frac{π}{4} \cos (0)$

Etapa 5.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{π}{4} \cdot 1$

Etapa 5.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{π}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{π}{4}$

Forma decimal:

$- 0.78539816 \dots$