Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1.1

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Etapa 1.1.3.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.4.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 1.3.7.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Etapa 2.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 2.1.3.1.3

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Etapa 2.1.3.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (0)}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Reordene $1$ e $- \sec^{2} (0)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) + 1}$

Etapa 2.1.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (0)$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0)) + 1}$

Etapa 2.1.3.3.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0) - 1)}$

Etapa 2.1.3.3.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

Etapa 2.1.3.3.6

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{- 0^{2}}$

Etapa 2.1.3.3.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Etapa 2.1.3.3.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3.4.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3.5

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sec^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sec^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Etapa 2.3.8.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 2.3.8.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Etapa 2.3.8.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Etapa 2.3.8.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Etapa 2.3.8.3

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))}$

Etapa 2.3.8.4

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))}$

Etapa 2.3.8.5

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))}$

Etapa 2.3.8.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))}$

Etapa 2.3.8.7

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}$

Etapa 2.3.8.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.1

Subtraia $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 2.3.9.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}$

Etapa 2.3.9.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Etapa 2.3.9.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Etapa 2.3.9.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Etapa 2.3.9.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Etapa 2.3.9.7

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 2.3.9.8

Multiplique $- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 2.3.9.8.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.9.8.2

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.9.8.2.1

Multiplique $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ .

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Etapa 2.3.9.8.2.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.3.9.8.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{{\cos (x)}^{1 + 2}}}$

Etapa 2.3.9.8.2.2

Some $1$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{3} (x)}}$

Etapa 2.3.9.9

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \sin (x) (- \frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)})$

Etapa 2.5

Combine $\sin (x)$ e $\frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} - \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

Etapa 3.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)$

Etapa 3.3

Mova o expoente $3$ de $\cos^{3} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}$

Etapa 3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Etapa 5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$