Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Etapa 1

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Etapa 2

Avalie os limites substituindo o valor pela variável.

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Etapa 2.1

Avalie o limite de $1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ substituindo $0$ por $x$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}$

Etapa 2.2

Reescreva $\cot (0)$ em termos de senos e cossenos.

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Etapa 2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$

Etapa 2.4

Como $1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$ é indefinido, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 3

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Etapa 4

Avalie o valor crítico direito.

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Etapa 4.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Etapa 4.2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 4.2.1

Reescreva ${\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ como $e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$

Etapa 4.2.2

Expanda $\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})$ movendo $\cot (x)$ para fora do logaritmo.

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

Etapa 4.3

Como o expoente $\cot (x) \ln (\sin (4 x))$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$ se aproxima de $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.4

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5

Se um dos valores críticos unilaterais não existir, o limite não existirá.

$Não existe$