Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{4 x^{2}}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x^{2}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Mova o expoente $2$ de $\sin^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Reordene os fatores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.2

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.3

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.4.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 4.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1}$

Etapa 4.4

Divida $2 \cos (2 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

Etapa 5.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

Etapa 5.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)$

Etapa 7.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2 (4)} \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)$

Etapa 7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} \cos (2 \cdot 0)$

Etapa 7.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cos (0)$

Etapa 7.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$