Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x + \tan (7 x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (7 x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (7 x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (7 x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x + \tan (7 x)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x + \tan (7 x)}$

Etapa 1.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (7 x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \tan (7 x)}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (lim_{x \to 0} 7 x)}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (7 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 + \tan (7 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 + \tan (7 \cdot 0)}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.5.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{x + \tan (7 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (7 x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (7 x)]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (7 x)]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (7 x)]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (7 x)]}$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x + \tan (7 x)]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x + \tan (7 x)]}$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x + \tan (7 x)]}$

Etapa 1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x + \tan (7 x)]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \tan (7 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d x} [\tan (7 x)]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [\tan (7 x)]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Etapa 1.3.9.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}$

Etapa 1.3.9.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [7 x]}$

Etapa 1.3.9.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 + \sec^{2} (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}$

Etapa 1.3.9.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 + \sec^{2} (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 1.3.9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 + \sec^{2} (7 x) (7 \cdot 1)}$

Etapa 1.3.9.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 + \sec^{2} (7 x) \cdot 7}$

Etapa 1.3.9.5

Mova $7$ para a esquerda de $\sec^{2} (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{1 + 7 \sec^{2} (7 x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1 + 7 \sec^{2} (7 x)}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 + 7 \sec^{2} (7 x)}$

Etapa 2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 + 7 \sec^{2} (7 x)}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + 7 \sec^{2} (7 x)}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 7 \sec^{2} (7 x)}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 + lim_{x \to 0} 7 \sec^{2} (7 x)}$

Etapa 2.7

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 + 7 lim_{x \to 0} \sec^{2} (7 x)}$

Etapa 2.8

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (7 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 + 7 {(lim_{x \to 0} \sec (7 x))}^{2}}$

Etapa 2.9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 + 7 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 7 x)}$

Etapa 2.10

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 + 7 \sec^{2} (7 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 + 7 \sec^{2} (7 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{1 + 7 \sec^{2} (7 \cdot 0)}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{1 + 7 \sec^{2} (7 \cdot 0)}$

Etapa 4.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 \frac{1}{1 + 7 \sec^{2} (7 \cdot 0)}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$2 \frac{1}{1 + 7 \sec^{2} (0)}$

Etapa 4.2.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$2 \frac{1}{1 + 7 \cdot 1^{2}}$

Etapa 4.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{1}{1 + 7 \cdot 1}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$2 \frac{1}{1 + 7}$

Etapa 4.2.5

Some $1$ e $7$ .

$2 (\frac{1}{8})$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 \frac{1}{2 (4)}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$