Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 4 - x}}$

Etapa 1.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} x}}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}$

Etapa 1.1.3.6

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} - \sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}$

Etapa 1.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} - \sqrt{4 - 2}}$

Etapa 1.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.7.1

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Etapa 1.1.3.7.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.7.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.7.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.7.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.7.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.7.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 1.3.8.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Etapa 1.3.8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Etapa 1.3.8.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Etapa 1.3.8.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Etapa 1.3.8.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Etapa 1.3.8.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

Etapa 1.3.8.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.8.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Etapa 1.3.8.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

Etapa 1.3.8.14

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

Etapa 1.3.8.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

Etapa 1.3.8.16

Combine $\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

Etapa 1.3.8.17

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1 \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.3.8.18

Reescreva $- 1 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Etapa 1.3.8.19

Mova ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.8.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.8.21

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.8.22

Multiplique $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.9

Simplifique.

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Etapa 1.3.9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.9.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.4.1

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4.2

Reescreva ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{4 - x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Etapa 2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Etapa 2.4

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Etapa 2.7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Etapa 2.8

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{4 - x}}}$

Etapa 2.9

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}}$

Etapa 2.10

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}}$

Etapa 2.11

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 - x}}}$

Etapa 2.12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} x}}}$

Etapa 2.13

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - 2}}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Subtraia $2$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.2.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.2.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}$

Etapa 4.2.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

Etapa 4.2.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

Etapa 4.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Etapa 4.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

Etapa 4.2.5.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Etapa 4.2.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Etapa 4.2.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Etapa 4.2.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Etapa 4.2.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}}$

Etapa 4.2.5.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.2.6

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.2.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}}$

Etapa 4.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 4.2.8

Reescreva $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 4.2.8.2

Reduza a expressão $\frac{2 \sqrt{2}}{4}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\frac{2 (\sqrt{2})}{4}}$

Etapa 4.2.8.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.2.8.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.2.8.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{2}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 4.6.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 4.6.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 4.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 4.6.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 4.6.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.7.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{2}$

Forma decimal:

$1.41421356 \dots$